Соответствует первому вхождению строки

Я думаю, что, хотя вы можете сделать это с помощью регулярного выражения, это не лучший способ. Подобные TreeBuilder и некоторые XPath предоставят вам гораздо более удобное решение.

После того, как вы загрузили HTML в древовидную структуру, требуемый XPath может быть таким же простым, как:

my $tree= HTML::TreeBuilder::XPath->new;
$tree->parse_file( "mypage.html");

my @nodes = $tree->find_nodes( '//b' );

Ваша проблема в том, что регулярное выражение является жадным, то есть оно соответствует самой длинной подстроке (формирует самый первый A до самого последнего /A). Попробуйте нежелательную версию оператора +:

$_=~s/A(.+?)?\/A//gs;

или

$_=~s/A(.*?)\/A//gs;

Кстати, где <> символы в вашем регулярном выражении? Разве вы не хотите найти <A> а не просто A?

Вы, вероятно, имеете ввиду

$_=~s/\<A\>.*?\<\/A\>//gs;

См. Здесь: Как написать регулярное выражение, которое соответствует не жадным?

Комментарий: Не рекомендуется анализировать HTML с регулярными выражениями, так как слишком много может пойти не так (например, с помощью вышеуказанного подхода вы не найдете тегов с пробелами в них). Если упражнение предназначено для быстрого и грязного решения специальной проблемы, используйте анализатор HTML!